Proposição: É toda frase declarativa, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir; dentro de certo contexto, somente dois valores lógicos possíveis: “Verdadeiro” ou “Falso”.

N.B: Para que a frase seja uma proposição é necessário que exista o “Verbo”, caso contrário não será proposição.

Exemplos:

1. Existe um número ímpar menor que dois. (Verbo Existir)
2. Minas é Estado e São Paulo é País. (Verbo Ser)
3. 20 + 17 = 13. (Verbo Ser; tornar)
4. João é mais novo que Maria. (Verbo Ser)
5. Joana quer uma boneca ou uma bicicleta. (Verbo querer)

Exemplos de não Proposição:

1. Sentenças Interrogativas – Que dia é hoje?
2. Sentenças Exclamativas – Bom dia!
3. Sentenças Imperativas – Faça as atividades de Matemática.
4. Sentenças sem verbo – O carro de Pedro.
5. Poemas – Um pouco mais de sol, eu era brasa – Um pouco mais de azul, eu era além. (Fragmento do Poema Quase, de Mário de Sá Carneiro)
6. Promessas – Prometo que te devolvo o livro amanhã; Amar-te-ei para sempre.
7. Sentenças abertas – O valor lógico da sentença depende do valor atribuído a variável. Exemplos: x > 2; x + y = 10 ; Z é a Capital do Uruguai.
8. Sentenças Paradoxais – Nem pode ser Verdadeiras nem pode ser Falsas. Exemplo: Esta frase é falsa.

QUESTÕES DE CONCURSOS

(ICMS;SP 2006 FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica.

I. Que belo dia!

II. Um excelente livro de raciocínio lógico.

III. O jogo terminou empatado?

IV. Existe vida em outros Planetas do Universo.

V. Escreva uma poesia.

A frase que não existe essa característica comum é a:

a) I

b) II

c) III

d) IV

e) V

(ICMS/SP 2006 FCC) Considere as seguintes frases:

I. Ele foi o melhor jogador do Mundo em 2005.

II, (x + y) / 5 é um número inteiro.

III. João da Silva foi secretário da Fazenda de S. Paulo em 2000.

É verdade apenas que:

a) I e II são sentenças abertas.

b) I e III são sentenças abertas.

c) II e III são sentenças abertas.

d) I É uma sentenças aberta.

e) II É uma sentença aberta.

Análise:

I. É uma proposição, pois existe um verbo na frase e não uma sentença aberta.

II.É uma sentença aberta pois a variável “X” está dependendo de um valor a ser atribuído para se tornar verdadeira.

III. É uma proposição, pois existe um verbo determinante da frase declarativa, não sendo uma sentença aberta.

Logo a resposta certa e o item e.

N.B: Na conjunção basta que uma sentença seja falsa para a Proposição ser Falsa.

Exemplos:

1. O gato mia e o galo canta . ( V )
2. O gato mia. ( V )
3. O galo canta. ( V )

Logo: A Proposição A ^ B é verdadeira.

1. Belo Horizonte é capital de Minas e Rio de Janeiro é a capital do Brasil. (F)
2. Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais. ( V )
3. Rio de Janeiro é a capital do Brasil. ( F )

Se: Uma das sentenças é Falsa então a Proposição é Falsa.

N.B: Numa proposição Bi condicional “A Se somente Se B” equivale à proposição composta: “Se A então B e Se B então A” ou seja A ↔ B é a mesma coisa que: A → B e B → A.

Podem-se afirmar também como equivalentes de A Se somente Se B as seguintes expressões:

1. A Se só Se B.
2. Se A então B e Se B então A.
3. A implica B e B implica A.
4. Todo A é B e todo B é A.
5. A somente Se B e B somente Se A.
6. A é condição suficiente e necessária para B.
7. B é condição suficiente e necessária para A.

Exemplo: Galinha é ave Se e somente Se gato for mamífero. (  V  )

Galinha é ave. (  V  )

Gato é mamífero. (  V  )

A proposição Bi condicional assume valor lógico verdadeiro se as sentenças tiverem valores lógicos iguais.

Galinha é ave. (  V  )

Gato é mamífero. (  V  )

Logo, a proposição Bi condicional é verdadeira. (  V  )

NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

1. Negação da Conjunção:

( A ^ B) = ~(A ^ B) = ~A V ~B

2. Negação da Disjunção:

(A V B) = ~(A V B) = ~A ^ ~B

3. Negação da Disjunção Exclusiva:

(A V B) = ~(A V B) = (V A V B) = ~(V A V B) = A ↔ B

4. Negação da Condicional:

 ( A → B) = ~(A → B) = A ^ ~B

4. Negação da Bi condicional:

 ( A ↔ B) = ~(A ↔ B) = V A V B

TAUTOLOGIA

Chama-se tautologia em uma Proposição composta quando todos os resultados das sentenças forem exclusivamente verdadeiros (V) indiferente das sentenças  que as compõem.

Exemplo:

N.B: Observamos que na coluna da Proposição composta todos os seus valores lógicos são “Falsos”, logo estamos diante de uma Contradição.

CONTINGÊNCIA

Uma Proposição Composta é dita Contingência quando o resultado da Proposição Composta não for Uma “Tautologia” e nem uma “Contradição” .