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M.M.C -MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
Na resolução de Problemas que envolvem o M.M.C é caracterizado a presenças de palavras tais como: Resto, Sobra, Tempo (horas, minutos, segundos, décadas, meses, ano, etc).
Exemplos: O planejamento dos professores de ciências naturais prevê o uso do laboratório da escola, que é um espaço compartilhado pelos três. O professor de biologia planejou o laboratório de 4 em 4 semanas; o professor de química o usa de 5 em 5 semanas e o professor de física só prevê aula de laboratório de 10 em 10 semanas. Com este planejamento, os três professores utilizaram o laboratório juntos em certa semana. Qual o menor número de semanas que se passará até voltarem a utilizá-los juntos novamente?
a) 10
b) 19
c) 20
d) 30
e) 45
Solução: O problema está sendo caracterizado pela variante “tempo” logo trata-se de um problema envolvendo o M.M.C.
4, 5, 10 / 2
2, 5, 5 / 2 Logo: m.m.c = 2 x 2 x 5 = 20
1, 5, 5 / 5
1, 1, 1 /
Resposta correta item "c".
Exemplo: Uma piscina está aberta todos os dias da semana: José vai à piscina de 2 em 2 dias, Davi vai à piscina de 3 em 3 dias, Marcos vai à piscina de 5 em cinco dias. Hoje, domingo, os três se encontraram lá. Daqui a quantos dias os três voltarão a se encontrar?
a) 20 dias
b) 30 dias
c) 15 dias
d) 18 dias
e) 60 dias
Solução: O problema está caracterizado pela palavra variante “tempo”, logo trata-se de um problema envolvendo o m.m.c.
2, 3, 5, /2
1, 3, 5, /3 Logo: 2 x 3 x 5 = 30
1, 1, 5, /5
1, 1, 1, /
Resposta correta é o item "b".
M.D.C
Na resolução de Problemas que envolvem o MDC é caracterizado a presença de palavras tais como: Maior, Máximo, etc.
Exemplos: Em um colégio de São Paulo, há 120 alunos na 1ª série do ensino médio, 144 alunos na 2ª série e 60 alunos na 3ª série. Na semana cultural, todos esses alunos serão organizados em equipes com o mesmo número de elementos, sem que se misturem os alunos de séries diferentes. O número máximo de alunos que pode haver em cada equipe é igual a:
a) 7
b) 10
c) 12
d) 28
e) 30
Solução: O problema está sendo caracterizado pela palavra “máximo” que é inerente aos problemas envolvendo m.d.c
120, 144, 60, / 2
60, 72, 30, / 2 Logo: 2 x 2 x 3 = 12
30, 36, 15, / 3
10, 12, 5, /
A resposta correta é o item "c".
Exemplo: Duas turmas de alunos, A e B, foram visitar um grande recinto de exposições. O professor da turma A combinou com seus alunos que, caso alguém se perdesse, deveria procurar o Posto Policial Central, pois ele passaria lá de 45 em 45 minutos. O professor da turma B combinou a mesma coisa com seus alunos, porém, ele passaria no posto de 60 em 60 minutos. Sabendo que as turmas começaram a visitação no mesmo horário e que elas permaneceram no parque por 8 horas, quantas vezes os professores da turma A e da B estiveram juntos nesse posto?
a) 2
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Solução: O problema referendado está caracterizado o envolvimento da variável tempo que é inerente aos problemas que diz respeito a m.m.c
45 60 /2
45 30 /2
45 15 /3 m.m.c = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180
15 5 /3
5 5 /5
1 1 /
N.B: 180 corresponde → 3 horas – onde eles encontraram-se duas vezes.
Exemplo: Três ônibus partiram juntos, às 07 horas de domingo, para as cidades A, B e C. Sabe-se que a freqüência diária dos ônibus é a seguinte: Para a cidade A de 6 em 6 horas; para a cidade B de 4 em 4 horas e para a cidade C de 8 em 8 horas. Até as 19 horas da 5ª feira seguinte, o número de vezes que eles partirão juntos novamente é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
Solução: Problema característico de m.m.c onde está envolvida a variável tempo. Logo teremos o cálculo do m.m.c
6 4 8 / 2
3 2 4 / 2 m.m.c = 2 x 2 x 2 x 3 = 24 horas
3 1 2 / 2 N.B: Do domingo à quinta feira os ônibus partem
3 1 1 / 3 juntos 4 vezes.
1 1 1 /
Exemplo: Suponha que uma caixa contenha menos de 40.000 parafusos. Se forem contados de 15 em 15, de 10 em 10, de 96 em 96 ou de 154 em 154, sobram sempre 7 parafusos. Assim sendo, é correto afirmar que o número de parafusos contidos nessa caixa é:
a) 29127
b) 35457
c) 35467
d) 36967
Solução: Observamos que neste problema existe uma variante “sobra” que é uma palavra que diz respeito problemas envolvendo m.m.c
Logo, teremos o cálculo do m.m.c entre:
15 10 96 154 /2
15 5 48 77 /2
15 5 24 77 /2
15 5 12 77 /2
15 5 6 77 /2
15 5 3 77 /3
5 5 1 77 /5 m.m.c = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 36960
1 1 1 77 /7 N.B: Como sobraram 7, teremos um total de
1 1 1 11 /11 36967.
Resposta correta o item "d".
Exemplo: Três peças de tecidos de comprimentos 36 m, 48m e 72m devem ser cortadas em pedaços da mesma medida, a maior possível. O número de pedaços obtidos será de:
a) 6
b) 9
c) 12
d) 13
Logo faremos o cálculo do m.d.c entre os números:
36 48 72 /2
18 24 36 /2 m.d.c = 2 x 2 x 3 = 12
9 12 18 /3 Logo, os pedaços serão de: 3 + 4 + 6 = 13 m
3 4 6 /
36/12 = 3
48/12 = 4
72/12 = 6
Solução: O problema apresentado é característico do m.d.c pois apresenta variante “maior” que é inerente ao m.d.c
Resposta correta é o item "d".
PROPORCIONALIDADE
Exemplos: Paulo quer dividir R$ 750,00 em partes proporcionais as idades de seus três filhos. Primus tem 12 anos, Secundus tem 8 anos, Tercius tem 5 anos. Qual parte caberá a Tercius?
a) R$ 360,00
b) R$ 240,00
c) R$ 150,00
d) R$ 600,00
Solução: Primus = P Secundus = S Tercius = T
Exemplos:
Os lucros de uma empresa serão divididos entre 4 funcionários em partes inversamente proporcionais às faltas de cada um durante o ano. A faltou 8 vezes, B faltou 6 vezes, C faltou 4 vezes e D faltou 12 vezes. Sabendo que o lucro dessa empresa foi de R$ 15.000,00, quanto caberá ao funcionário com maior número de faltas?
a) R$ 3.000,00
b) R$ 4.000,00
c) R$ 6.000,00
d) R$ 2.000,00
N.B: O problema pede o cálculo de quanto caberá ao funcionário que mais faltou.
Ao funcionário com o maior número de faltas coube uma participação nos lucros da ordem de
R$ 2.000,00