Exercícios envolvendo posição:

1. (ESAF;2008) – Quatro carros de cores diferentes, amarelo, verde, azul e preto, não necessariamente nessa ordem, formam uma fila.

O carro que está imediatamente antes do carro azul é menos veloz do que o que está imediatamente depois do carro azul.

O carro verde é o menos veloz de todos e está depois do carro azul.

O carro amarelo está depois do carro preto.

As cores do primeiro e do segundo carro da fila, são respectivamente:

Amarelo         Verde         Azul           Preto

a) Verde e Amarelo.

b) Preto e Azul.

c) Azul e Verde.

d) Verde e Preto

e) Preto e Amarelo.

Resposta correta é item "b".

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Definição de Fatorial de um número natural “n”.

n! = n.(n-1).(n-2). (n-3). (n-4)....(n-n)!

Exemplos:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

 2! = 2 x 1 = 2 

1! 0 

0! = 1

12!/8! =12 x 11 x 10 x 9 x 8! ⁄ 8! =12 x 11 x 10 x 9 = 11.880 

10! /12! =10! / 12 x 11 x 10! =1 / 132

n! / (n – 2 )! = n.(n – 1) . (n – 2) ! / ( n – 2) ! = n . (n – 1) = n² – n

PERMUTAÇÃO

Definição: Expressa a idéia de que objetos distintos podem ser arranjados em inúmeras ordens diferentes.

Exemplo:(1)

Uma fila é composta de 05 pessoas. De quantas maneiras diferentes pode-se dispor essa fila.

a) 5      

b) 120     

c) 115                       

d) 110           

e) 105

N.B: Em permutação a palavra chave é "Distintos ou diferentes" isto é que não pode ser repetidos. Logo é só resolver o fatorial.

Cálculo de 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Porém vamos resolver a mesma questão sem as palavras chaves....isto quer dizer que eles podem ser repetido.

Exemplo:(1)

Uma fila é composta de 05 pessoas. De quantas maneiras  pode-se dispor essa fila.

1ª Posição - 5

2ª Posição - 5

3ª Posição - 5

4ª Posição - 5

5ª Posição - 5

Logo o cálculo não será do fatorial de 5! e sim o cálculo de : 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 3.125

Exemplo:(2)

Um restaurante oferece, em seu cardápio, três pratos principais (carne, peixe e frango), dois acompanhamentos (arroz e fritas) e três opções de bebidas (refrigerante, vinho e cerveja).Se uma pessoa escolher apenas um prato principal, um acompanhamento e uma bebida, de quantas maneiras diferentes poderá fazer a sua escolha?

a) 18 Possibilidades.

b) 11 Possibilidades.

c) 27 Possibilidades.

d) 06 Possibilidades.

Solução: Uma pessoa fez a escolha  prato principal – 03 opções

Acompanhamentos – 02 opções

Bebidas – 03 opções

Logo: 3 x 2 x 3 = 18

Resposta correta ´tem "a".

Exemplo: (3)

Quantos números de 03 algarismos distintos podem ser formados utilizando apenas os algarismos

1, 3, 5, 7, e 9?

Solução: “Distintos” quer dizer que não pode ser repetidos os algarismos.

a) 105

b) 120

c) 115                      

d) 60                 

e) 20

Logo: Efetuaremos o fatorial de 5!

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Resposta correta é o item "b".

Exemplo: (4)

Quantos números de 03 algarismos podem ser formados utilizando apenas os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9?

a) 105

b) 120

c) 3125              

d) 130                    

e) 135

Solução:

Como não está especificado que são distintos então os números de 03 algarismos pode ter algarismos repetidos.

1ª nª = 5 algarismos

2º nº = 5 algarismos

3ª nº = 5 algarismos

4º nº = 5 algarismos

5º nº = 5 algarismos

Logo: 5 x 5 x 5 x 5 x 5  =  3.125

Resposta correta item "c".

ANAGRAMAS

Definição: Palavra ou frase formada pela permutação das letras de outras palavras ou frase.

Exemplo: (1)

Quantos são os anagramas da palavra livro?

a) 5

b) 120

c) 24             

d) 720                      

e) 5040

Solução:

LIVRO – Observamos que na palavra livro não há letras repetidas. Conta-se o número de letras e calcula-se o fatorial.

Logo: teremos 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Resposta correta item "b".

Exemplo: (2)

Quantos são os anagramas da palavra ROMA?

a) 5

b) 120

c) 24             

d) 720          

e) 5040

Solução:

ROMA – observamos que não há letras repetidas, é só contar o número de letras e calcular o fatorial, como a palavra Roma tem 04 letras vamos calcular o fatorial de 4.

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Resposta correta item "C".

3. Considere que uma pessoa resolveu escrever todos os anagramas da palavra POROROCA e que gastou, em média, cerca de 20 segundos para escrever cada anagrama. O tempo total que ele levou na tarefa foi cerca de :

a) 17 h e 20 min

b) 18 h e 08 min

c) 18 h e 40 min 

d) 18 h e 30 min

e) 20 h e 10 min

N.B:  Para casos de permutações com repetições, atentar para a definição de Permutação de “n” elementos com α,β,γ elementos repetidos, dados pela fórmula matemática:

P_{n, α,β,γ} = n! / _{α! β! γ!}

_{POROROCA – 08 letras}

“O” está repetido – 03 vezez.

“R” está repetido – 02 vezez

Logo: P_{8, 3, 2} = 8! / 3! 2! = 8x7x6x5x4x3!/3!.2.1

= 6720/2  = 3360

1 anagrama -------→ 20 seg

3360 anagrama-----→  X

X = 67200 seg

Convertendo-se segundos em horas basta dividir por 3600 seg .

Que é igual a : 18 horas e 40 min.

Resposta correta item "c"

 4. Quantos anagramas tem a palavra CANELA?

Solução: CANELA – 6 Letras     -  “A” – está sendo repetida – 2 vezes

P_{n, α,β,γ} = n! / _{α! β! γ!}

P_{6, 2} = 6! / 2!

P_{6, 2} = 6 x 5 x 4 x 3 x 2! / 2!

P_{6, 2}  = 6 x 5 x 4 x 3 = 360

Resposta: A palavra CANELA tem 360 anagramas.

5. Quantos anagramas tem a palavra MATEMÁTICA?

Solução: MATEMÁTICA – 10 LETRAS

 “A”  está sendo repetida – 3 vezes;

“M” – está sendo repetida – 2 vezes;

“T” – está sendo repetida – 2 vezes.

Logo:

P_{n, α,β,γ} = n! / _{α! β! γ!}

P_{10, 3, 2, 2} = 10! / 3! 2! 2!

P_{10, 3, 2, 2} = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 / 3 x 2 x 1

P_{10, 3, 2, 2} = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4

P_{10, 3, 2, 2} = 604800

 Resposta: A palavra MATAMÁTICA tem 604.800 anagramas.

6. Uma urna contém 5 bolas pretas e 3 bolas amarelas. De quantas maneiras pode ser feita uma extração destas bolas da urna, uma de cada vez?

Solução: Total de bolas = 5 bolas pretas + 3 bolas amarelas = 8 bolas.

Bolas pretas – 5 vezes

Bolas amarelas – 3 vezes

Logo: P_{n, α,β,γ} = n! / _{α! β! γ!}

P_{8, 5,3} = 8! / _{5! 3!}

P_{8, 5,3} = 8 x 7 x 6 x 5! / 5! 3! = 8 x 7 x 6 / 3 x 2 x 1

P_{8, 5,3} = 8 x7 x 6 / 6 = 56

7. O número de palavras de seis letras que pode ser formado com as letras da sigla CESCEM, Aparecendo, cada letra, tantas vezes quantas aparecem na sigla é:

Solução: CESCEM – 6 letras

“C” – está sendo repetida – 2 vezes.

“E” – está sendo repetida – 2 vezes.

Logo: P_{n, α,β,γ} = n! / _{α! β! γ!}

P_{6, 2, 2} = 6! / 2! 2!

P_{6, 2, 2} = 6 x 5 x 4 x 3 x 2! / 2! 2!

P_{6, 2, 2} = 6 x 5 x 4 x 3 x / 2 x 1

P_{6, 2, 2} = 180

Resposta: O número de palavras de 6 letras  com a sigla CESCEM é 180.

9. Quantos vocábulos diferentes podem ser formados com as letras da palavra ARAPONGA, de modo que a letra “P” ocupe sempre o último lugar?

Solução: ARAPONGA -  8 letras

“A” – está sendo repetida – 3 vezes.

Logo: P_{n, α,β,γ} = n! / _{α! β! γ!}

P_{8, 3} = 8! / 3! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3! / 3!

P_{8, 3} = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720

Resposta: O número de vocábulos formados com a palavra ARAPONGA  é de 6720.

9. Quantos números diferentes obtemos reagrupando os algarismos do número, 718844?

Solução:

718844 – Está constituído de 6 algarismos.

“88” – Está sendo repetido – 2 vezes.

“44” – Está sendo repetido – 2 vezes.

Logo: P_{n, α,β,γ} = n! / _{α! β! γ!}

P_{6, 2, 2} = 6! / 2! 2!

P_{6, 2, 2} = 6 x 5 x 4 x 3 x 2! / 2! 2!

P_{6, 2, 2} = 6 x 5 x 4 x 3 / 2!

P_{6, 2, 2} = 6 x 5 x 4 x 3 / 2 x 1

P_{6, 2, 2} = 6 x 5 x 4 x 3 / 2

P_{6, 2, 2} = 360 / 2    =   180

Resposta: 180 números diferentes reagrupando-se o número 718844.

10. Uma urna contém 10 bolas, 6 pretas iguais e 4 brancas iguais. Quantas são as maneiras diferentes de se extrair, uma a uma, as 10 bolas da urna?

Solução: Total de bolas – 10

Bolas pretas -  Está sendo repetida – 6 vezes.

Bolas brancas – Está sendo repetida – 4 vezes.

Logo: P_{n, α,β,γ} = n! / _{α! β! γ!}

P_{10, 6, 4}  = 10! / 6! 4!

P_{10, 6, 4}  = 10 x 9 x 8 x 7 x 6! / 6! 4!

P_{10, 6, 4}  = 10 x 9 x 8 x 7  / 4!

P_{10, 6, 4}  = 10 x 9 x 8 x 7 / 4 x 3 x 2 x 1

P_{10, 6, 4}  = 10 x 9 x 8 x 7 / 24

P_{10, 6, 4}  = 5016

Resposta: 5016 maneiras diferentes de se extrair as 10 bolas.